一般均衡到阿罗德布鲁市场

一般均衡的求解分为个人决策的最优化和市场出清两部分。

在没有生产的单期一般均衡模型中，每个参与者对每种商品有初始禀赋和效用函数，所有商品的需求量等于所有人的禀赋之和。每个人对每种商品的禀赋与需求之差在市场上买入或卖出，价格的调整使得需求和供给达到平衡。

所有价格方程都是线性的，价格的等比例调整不影响等号成立与否。在所有商品的均衡价格都是正数的情况下，可以用上述方程求解出唯一的均衡。

考虑两期设定，第一期有S个可能的状态，每个状态下市场都开放，参与者可以在任意一期进行交易。商品不可储存，每期的商品只能在当期消费。每个人有对各个状态下消费的效用函数和确定的禀赋。每个状态下每个商品供需的调整让市场出清，从而求解出一般均衡。

尽管商品不可储存，但个人仍可以实现跨状态的消费转移。通过在i期多卖出一些商品，在j期买入商品，实现消费转移。

引入阿罗证券，其特征在于仅在未来特定状态拥有一种商品。通过买卖对应的阿罗证券，任意两个状态间的消费可以转移。阿罗证券的作用是抽象刻画了不同状态下消费的转移。

阿罗德布鲁的贡献在于证明了在满足产出集合凸的条件下一定存在均衡。

考虑以下问题：记[公式]为仅第[公式]个元素为[公式]其余都是[公式]的列向量，在完备市场下[公式]可由[公式]线性表出。记[公式]。一个[公式]构建出的资产[公式]在不同状态下的收益为[公式]，说明其仅在第[公式]个状态下有一单位支付。

由线性代数基础知识，每个现实中的资产都可以用阿罗证券表示出来。如果我们最终的目的是确定资产的价格，只要确定了阿罗证券的价格[公式]，就可以计算各个资产的价格。

假设有[公式]个消费者，通过求解一般均衡来确定资产在第0期的价格。

个人最优化问题等价于[公式]。将后[公式]个约束代入，仅留下第一个约束，写出拉格朗日函数为[公式]。由一阶条件得[公式]，[公式]，消去[公式]得[公式]，这里的[公式]是市场状态为[公式]时的资产随机折现因子。

均衡时各个状态市场出清：[公式]。个人的优化问题给出了阿罗证券价格到每个人购买的阿罗证券组合的函数，于是所有的未知数就是S个阿罗证券的价格。

任何一个完备市场都等价于阿罗德布鲁市场，因此求解时直接考虑对应的阿罗证券以及各个状态下市场出清即可。

下面引用徐高老师的一个均衡算例：市场中有两种资产，其在一期的状态价格矩阵为[公式]。第一种资产在两种状态下的价格不变，可以理解成债券（或者纯纯的消费品？）。第二种资产在两种状态下价格分别减半和翻倍，可以理解为股票。

假设两状态的概率为[公式]，两状态的概率为[公式]，两状态的概率为[公式]。引入阿罗证券，其价格为[公式]。第一个人的禀赋为第0期的[公式]单位消费品，第二个人的禀赋为第一期的[公式]单位股票。

第一步：求解个人最优化问题（personal optimization）。假设第i个人在状态s下的消费为[公式]。在第一期第一个人没有任何东西，所以为了有消费需要在第0期购买对应数量的阿罗证券。

第二个人的优化问题为[公式]，[公式]。这里的约束可以看得更清楚。这个人拥有的禀赋带来的收益相当于持有0.5单位的第一种阿罗证券和2单位的阿罗证券。所以对应在第0期的价格是[公式]。

第二步：通过价格的调整让市场出清（market clear）。第0期总禀赋为1单位消费品，第1期总禀赋为一单位股票，对应的价格为[公式]状态下0.5以及[公式]状态下2。因此市场出清的条件是[公式]。求解以上所有条件可得阿罗证券的价格，因此确定了在第0期股票的价格为[公式]。

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