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三阶微分方程求特解不是通解第二小题

(1)

y'''-3y''+4y = e^(2x)

考虑辅助公式

p^3-3p^2+4=0

(p+1)(p^2- 4p +4)=0

(p+1)(p-2)^2=0

p=-1 or 2 or 2

得出齐次方程的通解

yg= Ae^(-x) +(Bx+C)e^(2x)

设非齐次方程的特解

yp=Dx^2.e^(2x)

yp'=2D(x^2 +x).e^(2x)

yp''

=2D[2(x^2 +x)+2x+1].e^(2x)

=2D(2x^2 +4x+1).e^(2x)

yp'''

=2D[2(2x^2 +4x+1)+4x+4].e^(2x)

=2D(4x^2 +12x+6).e^(2x)

由于 yp 是非齐次方程的特解，可推导出

yp'''-3yp''+4yp = e^(2x)

2D(4x^2 +12x+6)-6D(2x^2 +4x+1) +4Dx^2=1

12D-6D=1

D=1/6

通解

y=yg+yp=Ae^(-x) +(Bx+C)e^(2x) +(1/6)x^2.e^(2x)

三阶微分方程求特解 不是通解 第二小题