第八届 希望杯高一答案

第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试

班级 姓名

一、选择题

1、 是定义域为 的奇函数，下列结论中正确的是--------------------------（ ）

（A） （B）

（C） （D）

2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC1与A1B所成角相等于------------------------（ ）

（A）300 （B）450 （C）600 （D）900

3、 等于--------------------------------------------------------（ ）

（A） （B） （C） （D）

4、等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，M为AC中点，沿BM把它折为二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C-BM-A的大小为-----------------------------（ ）

（A）300 （B）600 （C）900 （D）1200

5、以下函数中，在区间 上是增函数的函数是-------------------------------（ ）

（A） （B） （C） （D）

6、已知 ， ， ，则集合 、 、 满足关系式------------------------（ ）

（A） （B）

（C） （D）

7、一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角的大小关系是-------------------------------------------------------------------------------------（ ）

（A）相等 （B）互补 （C）相等或互补 （D）不能确定的

8、对于任意实数 ，函数 都有 ，则有-（ ）

（A） （B）

（C） （D）

9、若函数 和 都是周期函数，最小正周期都是 ，对于函数 ，以下判断中，正确的是------------------------------------------（ ）

（A） 最小正周期是 （B）有最小正周期 ，且

（C）是周期函数，但可能没有最小正周期 （D）可能是非周期函数

10、5个顶点不共面的五边形叫做空间五边形，空间五边形的5条边所在直线中，互相垂直的直线对至多有-----------------------------------------------------------------（ ）

（A）5对 （B）6对 （C）7对 （D）8对

二、A组填空题

11、若函数 ，则 。

12、函数 的反函数为 。

13、矩形ABCD中，AB=4，BC=3，PA⊥平面ABCD，PA=1，则P点到BD的距离等于 。

14、函数 ，则 的值是 。

15、函数 的值域为 。

16、若 ，则 的取值范围是 。

17、关于 的方程 有且仅有一个在 内的实根，那么 的取值范围是 。

18、正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BD1-B1的大小为 。

19、三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，且二面角H-AB-C的大小为300，则SA AB= 。

20、长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6，BC=3，在线段BD、A1C1上各有一动点P、Q，在PQ上有一点M，且PM=2MQ，则M点轨迹图形的面积为 。

三、B组填空题

21、过正三棱锥的一条侧棱及底面中心作一个截面，若截面是等腰三角形，侧面与底面所成角为 ，则 。

22、若 ，则 的值等于 。

23、若 对一切 ，都有 ，且 ，则 、 的值分别为 。

24、方程 的解为 。

25、函数 ， （ 是整数）的值域中恰有10个不同整数，则 的值为 。

第八届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第二试

班级 姓名

一、选择题

1、集合 ， ，则有----------（ ）

（A） （B） （C） （D）

2、方程 的解的情况为--------------------------------------------（ ）

（A）无解 （B）有无数个解 （C）有唯一解 （D）有多于1个的有限个解

3、函数 的图象在 轴右边的第3条对称轴的方程是----------------（ ）

（A） （B） （C） （D）

4、如图1，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1、ABCD的中心，G为CC1的中点，设GF与AB所成的角为 ，C1E与AB所成的角为 ，则 --------------------------------------（ ）

（A）300 （B）600

（C）900 （D）1200

5、在 平面内，如果一条直线上只有一个点在幂函数的图象上，这条直线上除这个点外的任何一点都不在任何一个幂函数的图象上，这样的直线称为“特殊直线”，关于“特殊直线”的数目，下列各说法中正确的是---------------------------------（ ）

（A）1 （B）2 （C）不少于3 （D）0

6、三棱锥6条棱所在直线中，互相垂直的成对直线至多有----------------------（ ）

（A）5对 （B）6对 （C）7对 （D）9对

7、函数 与函数 的图象---------------------------------（ ）

（A）关于直线 对称 （B）关于直线 对称

（C）关于直线 对称 （D）关于直线 对称

8、 、 是异面直线，以下命题中错误的是----------------------------------------（ ）

（A）存在唯一的平面与 、 都平行，且与 、 距离相等

（B）过 、 外一点能作且只能作一个平面与 、 都平行

（C）与 、 都垂直的直线有无穷多条

（D）不存在与 、 都垂直的平面

9、设 是区间 上的奇函数， ，当 时， ，则 等于--------------------------------------------------------------（ ）

（A）1 （B）0 （C）-1 （D）1997

10、将棱长为5的正方体锯成棱长为1的125个小正方体，锯12次可达到目的，请你想法尽可能少锯几次，那么至少需要锯-----------------------------------------（ ）

（A）7次 （B）8次 （C）9次 （D）10次

二、填空题

11、 ，则 的值等于 。

12、当 时，若函数 的定义域和值域都是 ，则 。

13、若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是 。

14、已知函数 ，且 ，则 。

15、AA’DB是等腰梯形，AB=A’D，下底BD=2，上底AA’=4，S、C分别是AA’、BD的中点，SC=1，沿SB、SC、SD折叠，使这梯形成为一个四棱锥S-ABCD的各侧面（A、A’重合），则此棱锥底面上的对角线AC的长等于 。

16、对于函数 与 ，规定：当 时， ※ = ；当 时， ※ = 。已知 ， ，则 ※ 的最大值为 。

17、若一个圆锥中有三条母线两两垂直，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 。

18、长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1与面AB1成250角，BD1与面A1C1成450角，则BD1与这个长方体各棱所成角中最大的角等于 。

19、平行光线照射到一个棱长为1的正方体上，在正方体后面的平面上留下的影子的面积为S，则S的最大值为 。

20、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是 的点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度是 。

三、解答题

21、空间从O点出发的4条射线OA、OB、OC、OD两两所成角相等，求OA与平面OBC所成角的余弦值。

22、已知函数 ，其中 、 、 是非零实数，甲、乙两人做一游戏：他们轮流确定系数 、 、 （如甲令 ，乙令 ，甲再令 ）后，如果对于任意实数 ， ，那么甲得胜；如果存在实数 ，使 ，那么乙得胜。甲先选数，他是否有必胜策略？为什么？如果 、 、 是任意实数，结论如何？为什么？