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已知微分方程y'-y=2,y(0)=1

已知微分方程y'-y=2,y(0)=1，属于一阶非齐次线性微分方程的初值问题。

求解方法：1、先求其齐次线性微分方程；2、再用常数变易法求其通解；3、最后求其特解

解：对应的齐次方程

y'-y=0

分离变量，并积分得

dy/dx=y

dy/y=dx

lny=x+C

y=C1e^x

设方程的通解为

y=C1(x)e^x

则 y'=C1'(x)e^x+C1(x)e^x

代入原方程，得

C1'(x)e^x+C1(x)e^x-C1e^x=2

C1'(x)e^x=2

C1'(x)=2e^(-x)

积分，得

C1(x)=-2e^(-x)+C

所以，方程的通解为

y=(-2e^(-x)+C)e^x

当x=0时，y(0)=(-2e^(-0)+C)e^0=1，得

C=1+2=3

因此，方程的特解为

y=(-2e^(-x)+3)e^x

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