正四面体棱长全部相等于3求它的斜高和表面积,体积分别是多少
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- 2025-05-06 19:55:58
为了求解正四面体的斜高和表面积以及体积，我们可以采用以下步骤：
步骤1：求出正四面体的边长
根据题目已知条件，正四面体的边长全部相等于3。
步骤2：求出正四面体的高
正四面体的高是指从顶点垂直于底面的线段。我们可以将正四面体的底面划分为3个子三角形，其中一个子三角形的底边为3，由于正四面体的高和边垂直，我们可以将该子三角形的斜边作为高，即为√(3^2 - (3/2)^2) = √(9 - 2.25) = √6.75。
步骤3：求出正四面体的斜高
正四面体的斜高是指从顶点到底面一个顶点的线段，是正四面体的对角线。由于正四面体的底面是一个等边三角形，底面中心到三个顶点的线段长度可以通过勾股定理得到：√(2/3^2) = √(2/9)。而正四面体的斜高可以通过勾股定理得到：√(√(6.75)^2 + (√(2/9))^2) = √(6.75 + 2/9) = √(6.75 + 2/9)。
步骤4：求出正四面体的表面积
正四面体的表面积可以通过计算四个等边三角形的面积来求得。每个等边三角形的边长都等于正四面体的边长，即为3。所以每个等边三角形的面积为√3/4 * 3^2 = √3/4 * 9 = 9√3/4。正四面体的表面积等于4个等边三角形的面积之和，即为4 * 9√3/4 = 9√3。
步骤5：求出正四面体的体积
正四面体的体积可以通过计算底面积乘以高再除以3来求得。正四面体的底面是一个等边三角形，所以底面积为√3/4 * 3^2 = √3/4 * 9 = 9√3/4。将其乘以斜高√(6.75 + 2/9)并除以3，则正四面体的体积为(9√3/4) * √(6.75 + 2/9) / 3 = 3√3/4 * √(6.75 + 2/9) = 3√(27/4 * 6.75 + 27/4 * 2/9) = 3√(27 * 6.75/4 + 27/12) = 3√(171.375 + 2.25) = 3√173.625。
所以，正四面体的斜高约等于√(6.75 + 2/9)，表面积约等于9√3，体积约等于3√(27 * 6.75/4 + 27/12) = 3√173.625。
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