imo国家队的来，数学难题
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- 2025-05-05 21:32:34
这个问题，只需证明分母上的任意一个素因子的幂数的总和，小于等于分子上的相同素因子的幂数即可。用个简单的例子来讲：比如要证明2！6！/（1！3！4！）是整数（m=1，n=3），分母上的素因子为2，3，其中分解后2的幂数为4，3的幂数为2，分子上2的幂数为5，3的幂数为2.分子上对应的素数幂数都大于等于分母，必然为整数。将问题普遍一下，就是对于任意的素数p，再分子上的幂数和要不小于分母上的该素数的幂数和，即为整数。（幂数可为0，即分解后不含该素数）而n！含素数p的幂次公式为：【n/p^j】的所有和，例如n为5，求5！的素因子2的幂次，即【5/2】+【5/2^2】+【5/2^3】+---------=2+1=3.我们来看5！=120=2^3*3*5，即2的幂次为3.(2m)!(2n)! 种p的幂数为 [2m/p]+[2m/p^2]+--------+ [2n/p]+[2n/p^2]+--------，同理分母上m!n!(m+n)! :[m/p]+[m/p^2]+-------------:[n/p]+[n/p^2]+-------------:[（m+n）/p]+[（m+n）/p^2]+-------------实际上我们只需证明通项中的][2m/p^j]+[2n/p^j]》[m/p^j]+ [n/p^j]+[（m+n）/p^j}（j取任意数即可）由2m=m+（m-n）+n，2n=m-（m-n）+n有[2m/p^j]》[m/p^j]+ [n/p^j]+[（m-n）/p^j}[2n/p^j]》[m/p^j]+ [n/p^j]-[（m-n）/p^j}相加即得证。至于最后的这个不等式，通过高斯函数的定义是容易证明的。 希望你能看懂，呵呵
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