求两圆公共弦，为什么要用两圆方程相减

两个圆若是相交，则至多交于2点。减后的方程必定满足X、Y（就是两个交点），将两圆的方程相减即是默认两条方程中有共同的解X、Y。

换句话说，就是两个交点所共同满足的直线方程。我们知道，平面内2点间有且只有1条直线，那么这条直线就是所求的公共弦。

证明：

圆C1：(x-a₁)²+(y-b₁)²=r₁²或x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0

圆C2：(x-a₂)²+(y-b₂)²=r₂²或x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0

则过两圆交点的直线方程为：

(x-a₁)²+(y-b₁)²－(x-a₂)²－(y-b₂)²=r₁²－r₂²

或 (D₁－D₂)x+(E₁－E₂)y+F₁－F₂=0

这是“两相交圆方程相减得公共弦方程”的变式

设两圆分别为

x²+y²+c₁x+d₁y+e₁=0 ①

x²+y²+c₂x+d₂y+e₂=0 ②

两式相减得

（x²+y²+c₁x+d₁y+e₁）-（x²+y²+c₂x+d₂y+e₂）=0 ③

这是一条直线的方程

（1）先证这条直线过两圆交点

设交点为(x0,y0)则满足①②

所以满足③

所以交点在直线③上

（2）由于过两交点的直线又且只有一条

所以得证

扩展资料

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）.在同一个圆内最长的弦是直径。直径所在的直线是圆的对称轴，因此，圆的对称轴有无数条。

圆的相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）

证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD

注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点中更具一般性。

参考资料来源：百度百科-公共弦

参考资料来源：百度百科-弦