九年级数学圆这一章的全部知识点

1. 圆的定义

圆的定义有两个：

- 其一：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点所组成的图形叫圆。

- 其二：平面上一条线段（直径）绕它固定的一个端点（圆心）旋转360°，它的另一端留下的轨迹叫圆。

2. 圆的其他相关量

- 圆心与半径：固定的端点O即为圆心，用字母O表示，记作⊙O；定义中的定长即为半径，用字母r表示。

- 弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆中最长的弦为直径。

- 圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

- 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆上，且它的两边分别与圆相交的角叫做圆周角。

- 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

3. 垂径定理及其推论

- 定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

- 推论（四条）：

- 推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

- 推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧。

- 推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。

- 推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

4. 圆心角与圆周角

- 定义：

- 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

- 圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

- 定理及推论：

- 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

- 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

5. 点与圆的位置关系

- 点和圆的位置关系可分为三种：圆外、圆上和圆内。

- 判断点和圆的位置关系，以点到圆心的距离和圆半径之间的大小为依据。

- 不在同一直线上的三个点确定一个圆。

- 反证法：不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。

6. 直线与圆的位置关系

- 直线与圆的位置关系可分为三种：相交、相切和相离。

- 相交：直线和圆有两个公共点，则直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。

- 相切：直线和圆只有一个公共点，则直线与圆相切，该直线叫做圆的切线，该公共点叫做切点。

- 相离：直线和圆没有公共点。

7. 关于切线的定理

- 切线的定义：如果一条直线和圆只有一个公共点，那么这条直线和圆相切，直线就叫做圆的切线，公共点即为切点。

- 切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

- 切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

- 切线长：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

- 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

8. 三角形内切圆

- 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

- 内心到三角形三边的距离相等，也就是三角形内切圆半径。

9. 圆与圆的位置关系

- 圆与圆的位置关系主要可分为三种：相离、相切和相交。

- 相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离；相离又分为外离和内含，两圆内含有一种特殊情况即两圆同心。

- 相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切；相切又可分为外切和内切。

- 相交：两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

10. 正多边形和圆

- 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形。

- 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

- 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

11. 弧长和扇形的面积

- 弧长和扇形的面积计算涉及到特殊符号，具体公式请参考教材或相关资料。

12. 圆锥的侧面积

- 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段。

- 圆锥的侧面展开图是一个扇形，母线即为该扇形的半径，圆锥底面圆的周长为圆锥侧面展开后的扇形对应的弧长。

- 扇形的面积与弧长的关系为 ，利用这一关系式，可以计算圆锥的侧面积及全面积。