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抛物线的数学题

(1)抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,其中A(-1,0),C(0,-2),抛物线的对称轴是直线x=3/2

所以a-b+c=0,c=-2,-b/2a=3/2

解得a=1/2,b=-3/2,c=-2

所以抛物线的解析式为y=(1/2)x²-(3/2)x-2

(2)y=(1/2)(x²-3x-4)=(1/2)(x-4)(x+1)

所以A(-1,0),B(4,0),C(0,-2)

所以，直线BC的斜率为k=1/2 且其方程为：x-2y-4=0.

分析可令y'=[(1/2)x²-(3/2)x-2]'=x-3/2=k=1/2 ,

得x=2，从而将其代入抛物线方程得y= - 3 ,

从而点（2，-3）即为要求的动点D，此时可保证是S（BCD）最大，

且可得|CD|= sqrt(5),

点D到直线BC的距离为: d = |2 + 2 x 3 - 4 | / sqrt( 1 + 4 ) = 4 / sqrt( 5 )

所以，

S(BCD)=（|CD| d ）/ 2 = [ sqrt(5) x （4 / sqrt( 5 ) ) ] / 2 = 2;

又S(ABC) = (|AB||OC|)/2= 5 ，

故，S（ACDB）=S(ABC)+S(BCD) = 5 + 2 = 7.