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具体数学第四章数论的证明题

考虑：(ax)^m-b^m=0和(ax)^n-b^n=0的在复数域上的因式分解，那么两个多项式的gcd应该是其公共根的因式分解

考虑方程(ax)^m-b^m=0,其在复数域里面的解为：uk=b*e^(2πik/m)/a.k=0,1...m-1类似的：

(ax)^n-b^n=0在复数域的解为vk=b*e^(2πik/n)/a.从解的结构来看，如果ui=vj.那么i/m=j/n。(i=0,1...m-1.j=0,1...n-1)

从这个对应关系得出。满足i/m=j/n解i/m,j/n恰好为{1/(m,n),2/(m,n)...((m.n)-1)/(m,n)}集合里的元素。并且这些元素对应的解为sl=b*e^(2πil/(m,n))/a,(l=0,1...(m,n)-1)这些解对应的方程为：

ax^((m,n))-b^((m,n))=0.上述方程为二者的最大公因式。那么就有了：gcd((ax)^m-b^m,(ax)^n-b^n=0)=ax^((m,n))-b^((m,n))=(ax)^gcd(m,n)-b^gcd(m,n).

取x=1 , 就是原问题的证明。