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怎样证明三角形的角平分线的交点到三边的距离相等

三角形内角平分线的交点是三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。证明如下：

做△ABC的内切圆O，与三角形边的切点为m,n,p。如下图

由圆的切线定理可得，om⊥AB，on⊥BC

所以∠omB和∠onB相等

又因为om=om，存在共边Bo

所以可得

△oBm≌△oBn

因此∠oBm和∠oBn相等

所以oB是∠ABC的角平分线。

同理可得oC是∠ACB的角平分线，oA是∠BAC的角平分线。

所以o是三角形角平分线的交点。

证得，三角形角平分线的交点到三边的距离相等。

扩展资料：

三角形内心的性质

1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。

2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。

3、r=2S/p。S是三角形面积，p是三角形周长。

4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。

5、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：

[ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)]。

6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr。