什么是数学基本思想
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- 2025-06-19 10:03:33
本文摘自《数学基本思想与教学》史宁中著。在数学教学中，我们常说的“数形结合”、“等量替换”、“递归法”、“换元法”等，并非是数学基本思想。数学基本思想的两个判断原则是：一是数学产生和发展所必须依赖的思想；二是学习过数学的人应当具有的基本思维特征，包括抽象能力、逻辑推理能力和表述事物规律的能力。
根据这两个原则，数学基本思想可以归结为三个核心要素：抽象、推理和模型。通过抽象，人们将现实世界与数学相关的事物抽象到数学内部，形成数学研究的对象。通过推理，人们基于数学研究对象的性质和关系，通过逻辑得到命题和计算结果，推动数学内部的发展。通过模型，人们用数学的语言、符号和方法描述现实世界的故事，建立数学与现实世界的联系。
抽象过程是从众多事物中舍弃非本质属性，提炼出共同本质属性的思维活动，是形成概念的必要手段。数学的抽象不仅涉及数量与数量关系、图形与图形关系，还包括形成对象之间的联系。逻辑思维是数学主要依赖的思维形式，人们通过推理理解事物之间的因果关系，并用抽象的术语和符号描述这种关系，形成数学命题和结果。
归纳推理是从特殊到一般的推理，如“所有人都会死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死”。演绎推理则是从一般到特殊的推理，如“所有人都会死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死”。归纳推理包括不完全归纳法、类比法、简单枚举法和数据分析法等，演绎推理包括三段论、反证法、数学归纳法和算法逻辑等。
思考：在中小学数学教育中，是否应该创造问题情境，让学生自行发现新数学结论？数学模型与数学应用有何区别？数学教育应当培养哪些方面的能力？
数学模型是用数学语言描述现实世界中的数量、图形规律的故事。数学具有三个显著特征：一般性、严谨性和应用广泛性。数学结论的发现依赖个人直觉，而数学的严谨性是为便于理解、交流和研究。数学教育应注重严谨性，但不在于发现知识，而在于解释知识。真正的数学教育应突出数学基本思想，使学生在具体背景中理解概念，直观理解证明，归纳思维过程。
数学教育应创造合适情境，让学生在情境中理解数学概念、法则和命题构建过程，感受数学的本质。虽然数学教育追求严谨性，但教学应强调概念具体背景、直观理解证明、归纳思维过程。数学教育的目标是培养数学思维习惯，包括把握本质、理清头绪和发现规律的能力。从外部看，数学教育应留给学生思想感悟和经验积累，进行“过程教育”，关注学生自己理解数学的思维过程。
综上所述，好的数学教育更多倾向于培养学生的数学思维习惯，包括抽象、推理和建模能力，这是数学基本思想的核心。
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