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证明F(x)=积分（a到b)(|x-t|T(t)dt)在（a,b)上是凹的

在研究函数F(x) = ∫ab|x-t|T(t)dt在区间(a, b)内的性质时，我们首先将其拆分为两部分。具体来说，可以表示为y = ∫ax|x-t|T(t)dt + ∫xb|x-t|T(t)dt。我们关注第一部分，即y1 = ∫ax|x-t|T(t)dt。

要证明F(x)在(a, b)上是凹的，首先需要证明y1是凹函数。对于任意的t1, t2 ∈ [a, x]，我们有：

y1(t1) = ∫at1|x-t|T(t)dt + ∫t1x(x-t)T(t)dt

y1(t2) = ∫at2|x-t|T(t)dt + ∫t2x(x-t)T(t)dt

我们定义m = (t1 + t2) / 2，然后考虑y1(m)的表达式。通过计算可以得到y1(m)的公式，进而比较y1((t1 + t2) / 2)与(1/2)[y1(t1) + y1(t2)]，如果y1((t1 + t2) / 2) ≤ (1/2)[y1(t1) + y1(t2)]，则y1是凹函数。

接下来，我们分析第二部分y2 = ∫xb|x-t|T(t)dt。由于x是积分的下限，我们有：

y2(t1) = ∫xt1(t1-t)T(t)dt + ∫t1b(t-t1)T(t)dt

y2(t2) = ∫xt2(t2-t)T(t)dt + ∫t2b(t-t2)T(t)dt

同样，我们定义m = (t1 + t2) / 2，然后计算y2(m)的表达式，并比较y2((t1 + t2) / 2)与(1/2)[y2(t1) + y2(t2)]。如果y2((t1 + t2) / 2) ≤ (1/2)[y2(t1) + y2(t2)]，则y2也是凹函数。

由于y1和y2都是凹函数，而F(x) = y1 + y2，因此F(x)在(a, b)上是凹的。

总结来说，通过分析第一部分y1和第二部分y2的凹性，我们证明了F(x)在区间(a, b)上是凹函数。

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