考研数学一定义定理大全

高等数学1基础知识

一、三角函数

1．公式

同角三角函数间的基本关系式：

·平方关系：

   sin^2(α)+cos^2(α)=1; tan^2(α)+1=sec^2(α);cot^2(α)+1=csc^2(α)

·商的关系：   

tanα=sinα/cosα   cotα=cosα/sinα

·倒数关系：   

tanα·cotα=1;   sinα·cscα=1;   cosα·secα=1   

三角函数恒等变形公式：

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

2．特殊角的三角函数值

0

10

01

01不存在

不存在10

只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。

3诱导公式：

函数

角Asincostgctg

-α-sinαcosα-tgα-ctgα

90°-αcosαsinαctgαtgα

90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα

180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα

180°+α-sinα-cosαtgαctgα

270°-α-cosα-sinαctgαtgα

270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα

360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα

360°+αsinαcosαtgαctgα

记忆规律：　竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割　

即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）

二、一元二次函数、方程和不等式

无实根

三、因式分解与乘法公式

四、等差数列和等比数列

五、常用几何公式

平面图形

名称符号周长C和面积S

正方形a—边长C＝4a

S＝a2

长方形a和b－边长C＝2(a+b)

S＝ab

三角形a,b,c－三边长

h－a边上的高

s－周长的一半

A,B,C－内角

其中s＝(a+b+c)/2S＝ah/2

 ＝ab/2·sinC

 ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2

 ＝a2sinBsinC/(2sinA)

平行四边形a,b－边长

h－a边的高

α－两边夹角S＝ah

 ＝absinα

菱形a－边长

α－夹角

D－长对角线长

d－短对角线长S＝Dd/2

 ＝a2sinα

梯形a和b－上、下底长

h－高

m－中位线长S＝(a+b)h/2

 ＝mh

圆r－半径

d－直径C＝πd＝2πr

S＝πr2

 ＝πd2/4

扇形r—扇形半径

a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)

S＝πr2×(a/360)

圆环R－外圆半径

r－内圆半径

D－外圆直径

d－内圆直径S＝π(R2-r2)

 ＝π(D2-d2)/4

椭圆D－长轴

d－短轴S＝πDd/4

立方图形

名称符号表面积S和体积V

正方体a－边长S＝6a2

V＝a3

长方体a－长

b－宽

c－高S＝2(ab+ac+bc)

V＝abc

圆柱r－底半径

h－高

C—底面周长

S底—底面积

S侧—侧面积

S表—表面积C＝2πr

S底＝πr2

S侧＝Ch

S表＝Ch+2S底= Ch+2πr2

V＝S底h ＝πr2h

圆锥r－底半径

h－高V＝πr2h/3

球r－半径

d－直径V＝4/3πr3

＝πd3/6

S=4πr2

＝πd2

基本初等函数

名称表达式定义域 图 形 特 性

常

数

函

数

y

C

0x

幂

函

数

随而异，但在上

均有定义过点(1，1);

时在

单增；

时在

单减．

指

数

函

数

．

过点．

单增．

单减．

对

数

函

数

过点．

单增．

单减．

正

弦

函

数

奇函数．

．

．

余

弦

函

数

偶函数．

．

．

正

切

函

数

奇函数．

．

在每个周期

内单增

余

切

函

数

,

奇函数．

．

在每个周期

内单减．

反

正

弦

函

数

奇函数．

单增．

．

反

余

弦

函

数

单减．

．

反

正

切

函

数

奇函数．

单增．

．

反

余

切

函

数

单减．

．

极限的计算方法

一、初等函数：

二、分段函数：

基本初等函数的导数公式

(1) ，是常数

(2)

(3) ，特别地，当时，

(4) ， 特别地，当时，

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

基本初等函数的微分公式

(1)、(为常数)；

(2)、(为任意常数)；

(3)、，特别地，当时，；

(4)、，特别地，当时，；

(5)、；

(6)、；

(7)、；

(8)、；

(9)、；

(10)、；

(11)、；

(12)、；

(13)、；

(14)、．

曲线的切线方程

幂指函数的导数

极限、可导、可微、连续之间的关系

条件A 条件B，A为B的充分条件

条件B 条件A，A为B的必要条件

条件A 条件B，A和B互为充分必要条件

边际分析

边际成本 MC =；边际收益 MR =；

边际利润 ML =，= MR—MC

弹性分析

在点处的弹性，

特别的，需求价格弹性：

罗尔定理

若函数满足： (1) 在闭区间连续；

(2) 在开区间可导；

(3) ，则在内至少存在一点，使．

拉格朗日定理

设函数满足:

(1) 在闭区间连续；

(2) 在开区间可导，

则在上至少存在一点，使得 ．

基本积分公式

(1)

(2) 　特别地：

(3)

(4) 　　（有时绝对值符号也可忽略不写）

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13) （或）

(14) （或）

(15) ，

(16) ，

(17) ，

(18) ，

(19) ，，

(20) ，，

(21) ，，

(22) ，．

常用凑微分公式

(1)、

(2)、

(3)、

(4)、

(5)、

(6)、

(7)、

(8)、

(9)、

(10)、

(11)、

(12)、

一阶线性非齐次微分方程的通解为

平面图形面积的计算公式

1)区域D由连续曲线

和直线x=a,x=b围成,其中　　　　　　　　　　

（右图）

2)区域D由连续曲线

和直线x=c,x=d围成,其中　　　　　　　　　　

（右图）

平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式

1 、绕x轴的旋转体体积（右图）

注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴．

2、绕y轴的旋转体体积（右图）

注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴．

由边际函数求总函数

总利润函数为。

多元复合函数的导数公式

设函数u =φ(x, y)、v =ψ(x, y)在点(x，y)有偏导数，函数z = f (u, v)在对应点(u, v)处可微，则复合函数z = f (φ(x, y),ψ(x, y))在点(x，y)的偏导数

两个特例：

z = f (u, v)，：

z = f (u)，u = u (x, y)：

隐函数导数公式

二元方程所确定的隐函数：

三元方程F(x, y, z) = 0所确定的二元隐函数：，

1.确定函数定义域的主要依据：

(1)当f(x)是整式时，定义域为R；

(2)当f(x)是分式时，定义域是使分母不等于0的x取值的集合；

(3)当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合；

(4)当f(x)是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数非零或大于0的x取值范围；

(5)当f(x)是对数式时，定义域是使真数大于0的x取值的集合；

(6)正切函数的定义域是{}；余切函数的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z}；

(7)当f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x取值的实际意义.

2.求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等.

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