TSP、VRP及变种问题概念介绍

旅行商问题(Traveling Salesman Problem，TSP)是一个经典的组合优化问题。经典的TSP可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，该推销员从一个城市出发，需要经过所有城市后，回到出发地。应如何选择行进路线，以使总的行程最短。

车辆路线问题（Vehicle Routing Problem，VRP）最早是由Dantzig和Ramser于1959年首次提出，它是指一定数量的客户，各自有不同数量的货物需求，配送中心向客户提供货物，由一个车队负责分送货物， 组织适当的行车路线，目标是使得客户的需求得到满足，并能在一定的约束下，达到诸如路程最短、成本最小、耗费时间最少等目的。

一般而言车辆路线问题大致可以分为以下三种类型（Ballou，1992）：

1、相异的单一起点和单一终点。

2、相同的单一起点和终点。

3、多个起点和终点

在基本车辆路线问题（VRP）的基础上，车辆路线问题在学术研究和实际应用上产生了许多不同的延伸和变化型态，包括时窗限制车辆路线问题（vehicle routing problems with time windows，VRPTW）、追求最佳服务时间的车辆路线问题（VRPDT）、多车种车辆路线问题（fleet size and mix vehicle routing problems，FSVRP）、车辆多次使用的车辆路线问题（vehicle routingproblems with multiple use of vehicle，VRPM）、考虑收集的车辆路线问题（vehicle routingproblems with backhauls，VRPB）、随机需求车辆路线问题（vehicle routing problem with stochastic demand，VRPSD）等。

带时间窗的车辆路径规划问题(Vehicle Routing Problem with Time Window，VRPTW)是在VRP基础上添加配送时间约束条件产生的一个新问题。在这类问题中，给定车辆到达目的地的最早时间和最晚时间，要求车辆必须在规定的时间窗内到达，早于最早时间或晚于最晚时间都要产生额外的惩罚费用。此时，决策如何规划调度车辆使得配送的总费用最小化。

有容量限制的车辆路径规划问题(Capacitated Vehicle Routing Problem)是车辆路径规划问题的一类经典变体。在这类问题中，每个节点都有一个需求量，每辆车都有最大的负载，要求分配给每辆车的路径上，所有节点需求量之和都不超过车辆的最大负载。

DVRP（动态车辆路径问题）是指在满足一定的动态约束条件下，如何规划、设计移动物流车辆的行车路径，使其最优化(如路程最短、费用最少、速度最快、使用车辆最少等)。这里的动态约束条件，是指影响动态行车路径的各种随时间变化的参数，包括货物的供应/需求量、装货/卸货点的位置、客户对车辆到达时间的限制、实时的交通状况、物流车辆的当前位置和货载等。

即带容量限制、动态车辆路径CDVRP问题

从图论的角度来看，TSP和VRP问题实质是在一个带权完全无向图中，找一个权值最小的Hamilton回路。由于该问题的可行解是所有顶点的全排列，随着顶点数的增加，会产生组合爆炸，它是一个NP完全问题。由于其在交通运输、电路板线路设计以及物流配送等领域内有着广泛的应用，国内外学者对其进行了大量的研究。

早期的研究者使用精确算法求解该问题，常用的方法包括：分枝定界法、线性规划法、动态规划法等。但是，随着问题规模的增大，精确算法将变得无能为力，因此，在后来的研究中，国内外学者重点使用近似算法或启发式算法，主要有遗传算法、模拟退火法、蚁群算法、禁忌搜索算法、贪婪算法和神经网络等

接下来，我们会使用精确求解法、遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法、蚁群算法求解上述TSP和VRP问题及其变体

TSP求解：

VRP求解：