如何能够帮助学生由具体实例抽象出相应的数学概念

[摘要]数学概念教学是在数学教学的第一个环节，占有重要的地位。如何做好新课标下数学概念的教学呢？本文结合新课标对数学概念教学及教师的要求，从课堂过程设计、哲学指导思想和具体的实施途径多角度进行了尝试与探讨，以促进高中数学教学的发展。

[关键词]新课标 数学概念 哲学思想 有效途径 变式

长期以来，由于受应试教育的影响，很多教师重解题轻概念，重习题课轻概念课，造成数学概念与解题的严重脱节，学生对概念模糊不清，一知半解，不能很好的理解和运用概念，数学课堂变成了教师进行学生解题技能培训的场所，而学生成了解题的机器。这种情形极大地影响了教学质量，学生也深陷题海，学习效率很低；更为严重的是这必将阻碍学生思维的发展和能力的提高，与新课程大力倡导的培养学生探究能力与创新精神已背道而驰。

1、新课标对数学概念教学的要求

《高中数学新课程标准》明确指出：让学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学本质。高中数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，了解它们产生的背景、应用和在后继学习中的作用，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解，体会其中的数学思想和方法。由于数学高度抽象的特点，应注重体现基本概念的来龙去脉，探究重点和核心概念的内涵和外延，在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。

2、新课标下数学概念教学所要求的教师定位

数学概念是数学大厦的基石，数学就是由许多彼此联系的概念经过逻辑推论构成的理论体系。概念教学作为数学教学的重要组成部分，也应顺应教育改革的潮流，不断创新。

新课标下教师要更新教学理念，重视概念课教学，更应该在具体教学过程中让学生体会到概念的普遍性以及概念中渗透的数学思想，同时激发起学生对数学学习的兴趣，提高学生思考、归纳和应用概念解决问题的能力。数学概念的教学不在于教师把概念讲的如何透彻，更不是把概念硬塞给学生，而是根据概念本身的背景和学生已掌握的知识去启发、指导以及鼓励学生主动去探索问题，在探究活动中学习和建构数学概念。因此，新课程下的数学概念课教学要求教师能够合理定位，实现角色的更新与升级。

在传统的数学概念教学中，教师往往只注重对概念的传授，忽视概念的背景介绍与对学生认知结构的分析，不能使学生从多个侧面、多个角度去理解概念，也就不能正确分析数学概念的本质属性与非本质属性。这样的教学只会使学生在头脑中形成一些孤立的知识块，不利于学生综合运用知识去分析和解决问题，违背了建构主义的学习理论。如果把数学概念课教学看着是一种电影文化活动，那么教师不仅仅只是概念这一剧本的投资推销者，更应扮演概念形成过程前的编剧、概念形成过程中的导演以及概念形成过程后的影评家。

3、基于课堂过程设计的概念课教学的思考

回归概念课的课堂，其过程不外乎三个阶段：概念引入阶段、概念探究阶段、概念应用阶段。如何提高数学概念课的有效性？笔者基于课堂过程的三个阶段加以了思考。

（1）概念引入阶段：问题的提出应具有实际意义，能引起学生的较大兴趣，触动学生的观察神经，直逼主题。通过矛盾、生活实际或者图形的直观感觉，给学生适当的感性认识，为突破难点做好铺垫，从而自然导入概念。

中学数学教学中引入新概念的途径有：一、用实际事例或实物、模型进行介绍，使学生对研究对象的认识由感性到理性，逐步认识它的本质属性，建立起新的概念。尤其在解析几何和立体几何概念教学中，例如在教学“柱体、锥体、台体”的概念时，先让学生观察有关的实物、图示、模型，在具有充分的感性认识的基础上再引入概念。二、从数学内在的发展需要引入概念也是一种有效的方法。例如“虚数”、“二面角”等概念的引入。三、由旧概念的引申或变形引导出新概念。如“向量的模”、“两点间的距离公式”、“直线的倾斜角”等一些关联概念。

（2）概念探究阶段：对概念进行探究，层层深入，发动学生，分组讨论，积极思考，在巡视过程中，启发引导学生，及时掌握学生的动向，协助学生记忆理解并形成概念。

数学新概念教学必须对概念进行仔细探究，讲清数学概念之内涵和外延，沟通知识的内在联系。概念中有哪些规定和条件？与其他概念比较有无容易混淆的地方？它们与过去学过的知识有什么联系？这些规定和条件的确切含义是什么？应当如何理解这些区别？这些概念能否加以引申和变形？这都是教师要重点思考的。

教师要及时地运用各种手段使学生加深对概念的理解。例如，可以让学生复述概念，也可以举一些相关的例子使学生掌握概念的内涵和外延，还可以同一些相关概念进行比较，以找出它们之间的联系与区别。如排列与组合、指数与对数、三角函数与反三角函数等概念教学时，用对比法可收到好的效果。也可用一些三字诀、四字诀等习惯术语帮助记忆，如三角函数的诱导公式，“奇变偶不变，符号看象限”等等。

（3）概念应用阶段：学生认识和形成概念，理解和掌握之后，巩固概念是一个不可缺少的环节。用精选实例、设计巧题、加强练习等方法巩固和运用概念，使学生通过概念的掌握与运用，最终掌握数学思想方法。

巩固的主要手段是多练习、多运用，只有这样才能沟通概念、定理、法则、性质、公式之间的内存联系。如学习了“椭圆的第一定义及第二定义”概念之后可举例练习，通过解题巩固原有概念。这些练习可以分两步走：先是从基本练习出发，帮助学生熟悉、掌握好新概念，新知识，在基本内容掌握好以后，再根据班级学生实际情况，设计一些小转弯、小变化和小综合的题目，以便学生灵活运用知识去解决问题。

4、基于哲学思想下的数学概念教学的思考

4.1利用普遍联系的观点

唯物辩证法认为，世间万物是普遍联系的。数学概念也不例外，数学中有许多概念都有着密切的联系，如平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等等，在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。

4.2利用矛盾的观点

唯物辩证法认为，矛盾是一切事物发展的动力与内在源泉。同样地数学概念也是在矛盾不断产生与不断解决的过程中产生、发展的。我们在数学概念的教学中，要善于寻找新旧概念的逻辑连接点，设置有效的问题情景，引起学生与原有知识的冲突，激发学生的积极性。

比如函数概念，初中给出的定义，是从运动变化的观点出发，认为函数是一个变量随另一个变量变化而变化的过程。那又是不是函数呢？矛盾出现了，教师可以以此为契点给出高中函数的定义。

4.3利用量变与质变的观点

唯物辩证法认为，任何客观事物都是质与量的有机统一体，事物的发展过程就是不断由量变到质变的变化过程。在数学概念教学中，我们应该有意识地渗透量变与质变的辩证思想。

例如，曲线的切线是割线的极限状态，从割线变成切线就是量变引起质变的过程。又如，圆锥曲线的离心率在数量的量变引起了图像由椭圆、抛物线、双曲线到两条相交直线的质变。

在教学中，利用量变引起质变的观点来理解数学概念，指导数学概念教学，更能触及概念的本质。

5、数学概念教学的有效方法初探

5.1数学概念的有效变式教学

变式是指相对于某种范式（如基本知识、典型问题、思维模式等）的变化形式，适当地变更问题情景，改变思维角度，显现概念本质属性。变式教学是运用变式手段帮助实现教学目的的过程，变式教学不仅可以增强学生的感性经验，提高对知识理解的准确性，而且有利于培养发散思维能力，提高思维的变通性。

概念的引入，可以加以变式数学。在讲授一个新的概念时，将概念还原到客观实际中，通过实例、模型或已有的经验等进行引入，通过变式移植概念的本质属性，使实际现象数学化，达到展现概念形成过程，促进学生概念形成的目的。

概念的辨析，可以加以教学变式。针对概念的内涵与外延设计辨析型问题，通过学生对这些问题的讨论与解决，达到明确概念本质、深化概念理解的目的。如对与函数这一概念的学习，学生往往误认为“只有变量随变量 的变化而变化， 才是 的函数”。把非本质属性“ 随 的变化而变化 ”作为本质属性，扩大了概念的内涵。这时，可以举肯定例证 ，取不为零的任意实数时，y都有唯一值1与之对应，这样能够纠正学生的错误认识。

概念的应用，也可以加以变式教学。教材中针对概念的例题、练习有很多，如果能变更问题的条件和结论，可以更加明确有关数学概念的应用范围和相互间的联系。如在学习了三角函数的概念后，可以设计以下题组，供学生探究。① ， ， ，的定义域分别是什么？②三角函数在各个象限的符号分别是什么？这样，学生在新的问题情景中运用刚获得的概念，毫无疑问，这能够进一步加深对概念的理解。

5.2数学概念的有效实验化教学

几何领域尤其是立体几何的概念，更加抽象难懂，为此我们可以通过设计数学实验，变抽象为具体。

例如异面直线的教学，可以设计这样的实验：用三色丝带在教室的角落里演示空间两直线的三种位置关系——平行、相交和异面。

例如异面直线垂直的教学，可以设计如下实验：让两学生各拿一只笔，先让它们垂直，得到交角为，然后其中一学生将他的笔平行移动，所成角度仍然不变，所以平移后的位置关系就叫两异面直线垂直。即空间两条直线不相交，且相互成，这样的位置关系就叫两异面直线垂直。

5.3 数学概念的有效启发式教学

概念课教学中，教师应根据概念数学内容和学生实际，提供机会，创造情景，善于提出问题，启发学生积极、主动思考，逐步培养学生独立思考、自主学习的能力。

如学习等比数列时，可设计启发性思考题，启动学生自主的观察、归纳、概括出等比数列的概念，并把类比的数学思想落到实处，一一引导学生对等差数列、等比数列进行概念类比、内涵对比、外延类比、函数公式的结构类比、概念应用中的解法类比等，使学生在类比和自主探索中学习、理解、掌握等比数列及相关概念。

6、结束语

总之，概念是最基本的思维方式，概念的教学及学生对概念的学习是学习数学的基础，值得好好地研究。因此，在中学数学概念的教学中，只有针对学生实际和概念的具体特点，注重引入，加强分析，重视训练，辅以灵活多样的教法，使学生准确地理解和掌握概念，才能有效地提高数学教学质量。