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典型二阶系统的时域分析与频域分析

学习目标：掌握典型二阶系统的时域分析与频域分析方法，理解时域指标和频域指标之间的对应关系，以及如何利用这些指标对系统进行校正设计。

典型二阶系统的开环传递函数为 ¹/ _{(s^2 + 2ζω_n s + ω_n^2)}，其中，ζ为阻尼比，ω_n为无阻尼自然振荡频率。

一、时域分析

时域法通过系统阶跃响应来评估动态性能，阶跃响应直观地反映了系统在突然输入变化下的响应特性。系统在阶跃函数作用下的动态性能指标包括“超调量”和“调节时间”。超调量定义为阶跃响应峰值超出稳态值的百分比，调节时间则定义为阶跃响应到达并保持在稳态值正负5%误差带内所需的最短时间。

利用Laplace变换，典型二阶系统单位阶跃响应的表达式为 ^ω_n / _{(s^2 + 2ζω_n s + ω_n^2)}。通过求解Laplace反变换，可以得到时域中的阶跃响应表达式。根据阻尼比ζ的变化，阶跃响应表现出不同的模态，包括过阻尼、临界阻尼和欠阻尼系统。

过阻尼系统（ζ > 1）的阶跃响应为单调上升曲线，无超调现象。调节时间可以通过分析曲线在误差带内的行为得到。

临界阻尼系统（ζ = 1）的阶跃响应达到稳态值的时间与过阻尼系统相似，但振荡幅度较小。

欠阻尼系统（0 < ζ < 1）的阶跃响应在达到稳态值的过程中振荡，超调量由阻尼比决定。

二、频域分析

频域分析通过系统开环对数频率特性曲线来评估动态性能，主要关注指标包括“相位裕度”和“截止频率”。相位裕度定义为幅频特性曲线为0dB时相频特性曲线与-180°水平线之间的差，而截止频率则定义为幅频特性曲线为0dB处的频率。

典型二阶系统的开环传递函数为 ¹ / _{(s^2 + 2ζω_n s + ω_n^2)}。计算其幅频特性和相频特性，可以得到与时域指标的对应关系。相位裕度与超调量之间存在直接的关系，相位裕度越大，超调量越小。调节时间与相位裕度和截止频率相关，截止频率越大，调节时间越短。

系统校正设计时，需综合考虑低频段的系统型别和开环增益，中频段的截止频率和相位裕度，以及高频段的抗干扰能力。

闭环频率特性反映了系统在特定频率下的动态响应，通过分析闭环频率特性的谐振峰值和带宽，可以直观地理解系统的动态性能。谐振峰值越小，系统阻尼性能越好；带宽越宽，调节时间越短。

在进行系统校正时，利用开环和闭环频率特性之间的关系，设计适当的截止频率，以优化系统性能。

总结，通过时域分析与频域分析，可以全面评估系统动态性能并进行校正设计，实现系统在不同频率下的稳定性和响应速度之间的平衡。