为什么矩阵A的重特征值正好对应线性无关特征向量的个数
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- 2025-05-23 15:30:42
如果x1,...,xk是n阶矩阵A关于特征值λ的线性无关的特征向量令X=[x1,...,xk],
X是一个列满秩的nxk的矩阵存在n阶可逆矩阵Y使得Y的前k列是X，即Y=[X,*]
令B=Y^{-1}AY，则AY=YB，利用分块乘法可以得到
B=
λI_k
*
0
*
所以B至少有k个特征值是λ
这就说明代数重数一定不会小于几何重数另一方面，如果λ是A的特征多项式的根，即det(λI-A)=0
那么λI-A是奇异矩阵，线性方程组(λI-A)x=0有非零解，任何一个非零解都是λ对应的特征向量所以（对于n阶矩阵而言）特征值的几何重数至少是1，不可能是0
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