圆锥曲线第一定律公式
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- 2025-06-16 01:45:25
设定
开普勒第一定律
这样，角速度是
开普勒第一定律
对时间微分和对角度微分有如下关系：
开普勒第一定律
根据上述关系，径向距离 对时间的导数为：
开普勒第一定律
再求一次导数：
开普勒第一定律
开普勒第一定律
代入径向运动方程 ，
开普勒第一定律
开普勒第一定律
将此方程除以 ，则可得到一个简单的常系数非齐次线性全微分方程来描述行星轨道：
开普勒第一定律
为了解这个微分方程，先列出一个特解
开普勒第一定律
再求解剩余的常系数齐次线性全微分方程，
开普勒第一定律
它的解为
开普勒第一定律
开普勒第一定律
开普勒第一定律
这里， 与 是常数。合并特解和与齐次方程解，可以得到通解
开普勒第一定律
开普勒第一定律
开普勒第一定律
选择坐标轴，让 。代回 ，
开普勒第一定律
开普勒第一定律
其中， 是离心率。
开普勒第一定律
开普勒第一定律
这是圆锥曲线的极坐标方程，坐标系的原点是圆锥曲线的焦点之一。假若 ，则 所描述的是椭圆轨道。这证明了开普勒第一定律。
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