为什么自由度是n-1呢，不是n吗

统计学中自由度为什么是 N-1的原因：

一、基本概念

1、总体方差

假设有N个数据，其均值为μ，那么这N个数据的方差为

也就是说，每个数与均值的差的平方的期望，就是这些数的方差。

2、样本方差

假设总体为N，从中抽取n个数作为一个样本。其均值为k，则样本方差为

3、无偏估计

无偏估计的含义是，如果一个估计量的数学期望等于被估计参数的真实值，那么称此估计量是被估计参数的无偏估计。

那么对于样本方差与总体方差来说，指的就是样本方差的期望等于总体方差。也就是说从总体中不断的进行抽取（而不是仅抽取一次），当抽取的次数足够多时，就可以认为，样本方差的期望等于总体方差。

二、公式推导

下面就来推导样本方差（n-1自由度）是总体方差的无偏估计的原理。

首先，假设样本方差计算公式的分母为n，即

将其展开，可得

上面得到的是分母为n的样本方差，接下来计算它的期望，即

而均值k的抽样分布方差与总体方差的关系是

将其代入上式，可得样本方差的期望为

接下来计算分母为n-1的样本方差的期望，即

上面的公式恰好说明分母为n-1的样本方差的期望就等于总体的方差，因此说样本方差是总体方差的无偏估计。

扩展资料

自由度指的是用样本量来估计总体参数时，样本中可以自由取值的个数。当用样本方差来估计总体方差时，由计算公式可知，需要先求得样本的平均值k。

假设样本有n个数据，那么当k确定时，只需要知道n-1个值，自然能求出最后一个值。也就是说，只有n-1个值是可以自由变化的。而方差就是衡量与均值的变化情况，因此计算时分母自然为n-1，而不是n。

自由度是n-1这与统计推论有关，当用样本变异量来估计母体变异量时，为了避免估计上的偏差，必须要除以n-1。这个除以n-1而不是除以n的方法唤作「贝索校正」(Bessel’s correction)。

参考资料来源：百度百科-自由度