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二重积分计算 | 利用二重积分的对称性计算

当面对二重积分的计算时，利用积分区域的对称性可以简化问题。首先，如果积分区域关于某轴对称，根据被积函数的奇偶性，可以将原积分区域划分为两部分，分别计算或利用对称性简化计算。

一、若积分区域关于x轴对称，设其上半部分为S，则

1. 若被积函数f(x,y)是关于x的奇函数，则积分结果为0。

2. 若f(x,y)是关于x的偶函数，则积分结果等于两倍于下半部分的积分值。

二、若积分区域关于y轴对称，设其右侧部分为S，则

1. 若f(x,y)是关于y的奇函数，则积分结果为0。

2. 若f(x,y)是关于y的偶函数，则积分结果等于两倍于左侧部分的积分值。

三、若积分区域关于x轴和y轴都对称，记其四分之一为S，则

1. 若f(x,y)或g(x,y)为奇函数，则积分结果为0。

2. 若f(x,y)或g(x,y)为偶函数，则积分结果等于四倍于S的积分值。

四、若积分区域关于原点对称，记其半部为S，则

1. 若f(x,y)为奇函数，则积分结果为0。

2. 若f(x,y)为偶函数，则积分结果等于两倍于S的积分值。

五、（轮换对称性）若积分区域关于某点对称，设其对称部分为S，则

1. 若f(x,y)为奇函数，则积分结果为0。

2. 若f(x,y)为偶函数，则积分结果等于两倍于S的积分值。

六、例题精析：通过具体例子，深入理解上述原则的应用，简化二重积分的计算步骤。