隐圆现身，茅塞顿开——2019年湖北十堰中考数学第24题
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- 2025-05-06 00:18:19
几何综合题中的共圆问题通常不会直接将圆画出，而是通过题目条件间接揭示圆的存在，要求解题者能够深入挖掘题目所给条件的含义，一旦理解题意，找到解题突破口往往就在眼前。
题目描述了一个△ABC，其中CA等长于CB，∠ACB等于α，D为△ABC内部一点。△CAD绕点C逆时针旋转角α得到△CBE，点A、D的对应点分别是点B、E，且A、D、E三点在同一直线上。
第一部分要求填空，求∠CDE的度数。显然，△ACD与△BCE全等，因此∠ACD等于∠BCE。由此可知，等腰△CDE的顶角等于α，所以底角∠CDE等于90°减去α的一半。
第二部分给出α等于60°时的条件，要求补全图形并探究线段CF、AE、BE之间的数量关系，并给出证明。注意A、D、E三点共线这一点，补全图形后，由△ACD与△BCE全等得出AD等于BE。观察等边△CDE，它高与一边之间有确定的数量关系，通过Rt△CDF中30°角的直角三角形特性，可以得出CF与DF的关系，进而推导出AE等于AD加上DF，即等于BE加上2√3/3CF。
第三部分给出α等于90°时的条件，已知AC等于5√2，BG等于6，需要直接求出点C到AG的距离。注意到直角三角形ABG中斜边AB为定长10，且∠AGB等于90°，这提示我们可能需要构造圆，利用直径所对圆周角为直角的性质。以AB为直径作圆O，点G必在圆O上，条件BG等于6，意味着G点位于圆O上，距离B点为6的位置。通过构造等腰直角△CMG并利用勾股定理求解CM的长度，即点C到AG的距离。
解题反思：学生在面对此题可能遇到的障碍，主要是作图。平时学习中，题目常带有标准图形，降低观察失误的可能性，但遇到需要自己作图的题目，这确实考验着学生的作图习惯和规范。教师在命题时，应当考虑到避免过度依赖作图工具，同时，也不能过分追求图形的准确性，而忽视了学生解题思路的正确性和规范性。课堂上，应注重培养学生的解题思维和习惯，细节决定成败，重视辅助线、标注和草稿纸的使用，提升解题效率和准确性。
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