1x,y四维非零正交向量，A=x乘以y的转置，则A的线性无关的特征向量个数是多少
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- 2025-05-06 12:03:43
1、本题中x，y应该是列向量，否则太易。
因为x，y均不为零向量，那么xy^T不为0。（取x，y不为零的分量，对应乘积的那项不为0）
故有1<=r(xy^T)<=r(x)=1，故r(xy^T)=1
故0是xy^T的特征根。
右（xy^T）α=0的解空间为3维的。
那么0的重数不小于3。（特征值的重数不小于，其对应的线性无关的特征值的个数）
考虑到xy^T的迹（对角线上各元素的和）为x,y的内积，因为正交，所以为0.
故所有的特征值为零。（所有特征值的和等于迹）
这样A的线性无关的特征向量个数即为3了。
2、记A=(s1,s2,s3)^T，显然A是个3*4的矩阵，且r(A)=3
di于s1，s2，s3均正交，故di为Ax=0的解，而Ax=0的解空间是1维的，故向量组d1，d2，d3，
d4的秩为1,（实际上无论多少个非零向量满足题设，秩均为1）
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