高数求极限问题

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《高等数学》中“求极限”问题分析

紫琅职业技术学院

杨琦

［摘要］本文通过对江苏省专转本《高等数学》考试中极限类型问题的分析，总结了求极限的基本类型及相应的处理方法。

［关键词］极限专转本《高等数学》0.引言

江苏省专转本《高等数学》考试中求极限的题目是必考的。我比较了近６年的《高等数学》专转本考试中求极限的题目，觉得只要弄清楚１∞这三种基本类型极限的求法，考试中极限的题目就不难解了０∞，决了。下面具体谈一谈极限基本类型及其处理的方法。

1.极限问题（１）“０”型

０

所谓“０”型是指分子、分母极限都为零的类型，因为分母极限为

零，就不能使用极限四则法则中除法法则了，为了能够使用除法法则，关键是让分母极限不为零，方法有：

１）约去分母中的趋零因式，具体操作方法有：①因式分解，②根式有理化，③等价无穷小的替换。

２）使用罗必达法则。

２

ｉｍａｘ－ｘ－３＝ｂ，求ａ，ｂ例１（０５年）：已知ｌｘ→－１ｘ

ｉｍｅ－ｘ－１例５（０７年）求极限ｌ

ｘ→００型，解：分母中，当ｘ→０时，ｔａｎｘ与ｘ是等价无穷小，则：

ｘｘ

ｌｉｍｅ－ｘ－１＝ｌｉｍｅ－ｘ－１然后还是０型，则使用罗必达法则：ｘ→０ｘｔａｎｘｘ→０ｘ２０ｘｘｘ

ｉｍｅ－１＝ｌｉｍｅ＝１ｌｉｍｅ－ｘ－１＝ｌ

ｘ→０ｘ→０ｘ→０注：连续使用了两次罗必达法则。

ｘ３

ｉｍ例６（０９年）求极限ｌ

ｘ→０解：分析题目类型是０型，但是第一步不能用等价无穷小替换当ｘ→０，ｓｉｎｘ￣ｘ。因为这里是加减法，只有ｓｉｎｘ作为整个式子的一个因式才可以等价无穷小替换，该题考虑使用罗必达法则。

３２ｘｌｉｍｉｍ３ｘ＝ｌｉｍ６ｘ＝ｌｉｍ６＝６＝ｌｘ→０ｘ→０ｘ→０ｘ→０注：连续使用了三次罗必达法则。（２）“∞”型

所谓“∞”型是指分子、分母都趋向于无穷大的类型，因为分母极

∞限不存在，所以不能使用除法法则，为了能够使用除法法则，要让分母极限存在，使用的方法是１：同除以分母的最高次幂，若不能使用则使用但是间接出现２：罗必达法则。虽然这种类型专转本中没有直接出现，

４＋２ｘ

ｌｉｍ３＋ｘ）了，如：该幂指函数的底的极限为：x→∞３＋１

３＋ｘｉｍｌｉｍ＝ｌ＝１，使用了第一种方法。x→∞２＋ｘx→∞２

＋１（３）“１∞”型所谓“１∞”型是专门针对幂指函数的，底的极限为１，而指数趋向于

解：首先分析题目类型，分母极限为零，函数极限要存在，分子极限ｉｍ（也必须是零，即就是０型。ｌａｘ２－ｘ－３）＝０，则ａ＝２。

ｘ→－１然后用因式分解的方法求该极限值ｂ：

２

ｘ＋１）（２ｘ－３）＝ｌｌｉｍａｘ－ｘ－３＝ｌｉｍ（ｉｍ（２ｘ－３）＝－５则ｂ＝－５

ｘ→－１ｘ→－１ｘ→－１２

ｉｍｘ＋ａｘ＋ｂ＝３，例２（０９年）：已知ｌ求ａ，ｂｘ→２解：首先分析题目类型，分母极限为零，函数极限要存在，分子极限ｉｍ（也必须为零，即也是０型。ｌｘ２＋ａｘ＋ｂ）＝４＋２ｘ＋ｂ＝０∴２ａ＋ｂ＝－４

ｘ→２然后对该题目使用罗必达法则求极限：

２

ｌｉｍｘ＋ａｘ＋ｂ＝ｌｉｍ２ｘ＋ａ＝４＋ａ＝３∴ａ＝－１∴ｂ＝－２ｘ→２ｘ→２ｉｍ－１例３（０６年）：求极限ｌ

ｘ→１

姨－１０型，解：因为题目含有根式，可是使用根式有理化的方法：

（＋＋１）（＋１）＝２ｌｉｍ（－１）法一：ｘ→１

（姨－１）（姨＋１）（姨＋姨＋１）该题目是０型，也可以考虑使用等价无穷小的替换：

ｔ

－１－１ｉｍｉｍｉｍ法二：令ｘ－１＝ｔ则ｌ＝ｌ＝ｌ＝２ｘ→１

－１ｔ→０姨－１ｔ→０姨２

３

３

３

３

３

３

３

ｉｍ（无穷大的类型。使用的方法是１：

使用公式ｌ１＋若不能使用则使

→０

用２：对该函数先取以ｅ为底对数，再取以ｅ为底指数，然后化为前面的基本类型来做。

３ｘ

ｉｍ（ｘ－２）例７（０８年）求极限ｌx→∞ｉｍ（解：首先分析题目类型是１型，则使用公式ｌ１＋然后来

∞

→０

找公式中的。

３ｘ

ｌｉｍｘ－２）ｉｍ［］＝ｌ１＋（－２）＝ｅ－６x→∞x→∞注：其中（－２）是公式中的。

ｘ

ｉｍ（ｘ＋１）例８（１０年）求极限ｌ

x→∞（－ｘ）×（－６）

（２ｘ）＝２则ｌｉｍｆｉｍｘｆ例４（０７年）已知ｌ１）＝

ｘ→０x→∞。

解：首先分析题目类型，分母极限为零，函数极限要存在，分子极限（２ｘ）＝１∴当ｘ→０，ｉｍｆ也为零，则当ｘ→０，ｆ（２ｘ）是无穷小，∵ｌｆ（２ｘ）与２ｘ

ｘ→０是等价无穷小，即

ｆ（２ｘ）￣２ｘ，令２ｘ＝ｕ，当ｕ→０，ｆ（ｕ）￣ｕ，∴ｘ→∞，ｆ１）￣１

ｉｍｘ１＝１∴ｌ

x→∞ｉｍ（解：首先分析题目类型是１型，则使用公式ｌ１＋然后来

∞

→ｅ

找公式中的。

（下转第１２４页）

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