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如何用积分法证明函数单调有界

E(X)

=∫(-∞,+∞) xf(x) dx

=(1/2)∫(-∞,+∞) xe^(-|x|) dx

=(1/2)[∫(-∞,0) xe^x dx + ∫(0,+∞) xe^(-x) dx ]

= (1/2)[∫(-∞,0) xde^x - ∫(0,+∞) xde^(-x) ]

=(1/2){ [xe^x]|(-∞,0) - ∫(-∞,0) e^x dx - [xe^(-x)]|(0,+∞) + ∫(0,+∞) e^(-x) dx }

=(1/2) { -∫(-∞,0) e^x dx + ∫(0,+∞) e^(-x) dx }

=(1/2) { - [e^x]|(-∞,0) - [ e^(-x)] |(0,+∞) }

= (1/2) ( -1 +1 )

E(X^2)

=(1/2)∫(-∞,+∞) x^2 e^(-|x|) dx

=(1/2) [∫(-∞,0) x^2.e^x dx + ∫(0,+∞) x^2. e^(-x) dx ]

=(1/2) [∫(-∞,0) x^2 de^x - ∫(0,+∞) x^2 de^(-x) ]

=(1/2){[x^2.e^x]|(-∞,0) -2∫(-∞,0) xe^x dx - [x^2.e^(-x)]|(0,+∞) + 2∫(0,+∞) xe^(-x) dx }

=(1/2){ -2∫(-∞,0) xe^x dx + 2∫(0,+∞) xe^(-x) dx }

= -∫(-∞,0) xe^x dx + ∫(0,+∞) xe^(-x) dx

=-∫(-∞,0) xde^x - ∫(0,+∞) xde^(-x)

= - [ xe^x]|(-∞,0) + ∫(-∞,0) e^x dx -[ xe^(-x)]|(0,-∞) +∫(0,+∞) e^(-x) dx

=∫(-∞,0) e^x dx +∫(0,+∞) e^(-x) dx

= [e^x]|(-∞,0) - [e^(-x) ]|(0,+∞)

=1 +1

D(X)=E(X^2)- [E(X)]^2 = 2^2 - 0 =4