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微积分：证明一个点的可导性必须用定义吗，能不能用这点的左右导数相等

我明白您的意思，你是说用常用求导公式和复合函数求导公式求出该点的左右导数，看是否相等。

在某种条件下可以，即符合导数连续性定理；

在此条件下，可以对分段函数的每段函数分别求导，然后求x趋向该点的极限，看看导数的左右极限相不相等。

为什么要这样呢？

在此要强调的是，用公式求出来的导函数是不含你要求的x的导数的，因为，导数公式本来就是函数在该区间导数都存在，才能用来求得该区间的导函数的，你在讨论该点x是否可导，显而易见是并未求出，只是有时候太明显你直接看出来而已；所以要再求x点的左右极限才行。

但是，很多情况下，这样做会复杂，如

y=xsin(1/x)，x=其他

0，x=0

在0点可导性，则：

1、首先要看看该点是否连续；

x--0，limxsin(1/x)=0，连续

2、再看求导后的导函数在该点的左右极限是否相等。

y‘=sin(1/x)-1/xcos(1/x)

x--0,lim[sin(1/x)-1/xcos(1/x)]，你看这个函数的左右极限就很难求。

而直接求的话

dx--0,lim[dxsin(1/dx)-0]/dx=不存在

所以一般都用定义求的