数学物理方法--复变函数论

第一章复变函数

可导的条件是C-R条件。这公式是由复函数导数存在，实部和虚部必须满足的约束推导出来的。然而，C-R条件只是一个必要条件，不是充要条件。因为从任意方向对函数求导不一定存在。为了满足光滑的性质，需要u,v两个二元值函数在那一点可写成全微分的形式。因此：

函数f(z)可导的充要条件是：函数f(z)的偏导数存在，且连续，并满足C-R条件。可以看到u, v在x,y方向的偏导数存在且连续，保证了，u, v可写成全微分的形式，即任意方向上的方向导数都存在。

第二章积分

复变函数的积分可归结为两个实变函数的的线积分。积分不等式1和2分别给出了一些积分的基本性质。柯西定理说明，在单连通区域上解析的函数积分与路径无关。这个定理的证明由C-R条件和格林公式联合可证。总的来说，柯西定理说明，在单连通区域上解析的函数积分与路径无关，这是更上一个层次的积分的无关性。

第三章幂级数展开

柯西收敛准则用于复数项级数。幂级数和泰勒级数展开给出解析函数在某点的近似表示。解析延拓是找到一个较大定义域的函数，原函数在原有定义域中相重叠。原则上，解析延拓可以利用泰勒级数进行，如果收敛圆有一部分超出原定义域之外，解析函数的定义域就更大了。解析延拓是唯一的。

第四章留数定理

留数定理通过洛朗级数两边进行围道积分得出，k=-1这一项的系数特别重要，称为留数。实际计算时，可以直接计算留数。留数定理给出了积分路径与留数之间的关系，是解析函数积分的重要工具。