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从勒让德多项式拓展（一）——特征多项式不超过二次的对称算子(1)

本文系列将从勒让德多项式出发，探讨三种特殊类型的多项式——厄米多项式、拉盖尔多项式和雅可比多项式的特性。勒让德多项式是解特定微分方程的基础，通过该方程的系数分析，我们定义了对称算子及其相关性质。

首先，我们定义的算子和权函数以及内积条件，限制了函数集合[公式]。对称算子需满足[公式]，通过边界条件和分部积分，我们可以得出对称算子的等价条件：[公式]。本征值问题中，特征多项式的次数是关键，零次、一次和二次多项式分别对应不同的要求。

对于零次特征多项式，我们有[公式]，常数r的引入不影响本征函数求解，通常设[公式]。一次和二次特征多项式要求[公式]。综合这些，我们有方程系数的分类讨论和特定算子形式。

以[公式]为例，特征函数为n次多项式，特征值相应确定，从而得出厄米多项式的特征方程[公式]。拉盖尔多项式则对应于[公式]的特征值，其级数解为[公式]。