为什么级数1/n是发散的
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- 2025-05-06 23:22:45
答案：级数1/n是发散的，因为其部分和随着项数的增加而趋于无穷大。
解释：
1. 级数及发散性的定义
在数学中，级数是由一系列数按照某种顺序排列并求和得到的。一个发散级数的特点是，随着级数的项数不断增加，其部分和会趋于无穷大或无穷小。具体到级数1/n，每一项都是正数且逐渐趋近于零，但其部分和却不会收敛到一个确定的值，而是逐渐增大，最终趋向于无穷大。
2. 级数1/n的部分和特性
对于级数1/n，当n增大时，每一项的值虽然减小，但部分和的增速却越来越快。这是因为随着项数的增加，虽然每一项的数值在减小，但每一项的数值始终是正数，并且其数量级足够大以至于抵消了这种减小趋势。这意味着级数的部分和随着项数的增加会一直增加，而不会稳定在某个固定的值。
3. 调和级数的特性
级数1/n属于调和级数的范畴。调和级数的特点是其部分和的增长速度超过了项数的增长速度。具体来说，对于调和级数来说，如果我们对前n项求和，得到的部分和大致等于ln加上一个常数，这意味着随着项数的增加，部分和的增长速度会越来越快，最终导致发散。对于级数1/n来说，这一特性导致其部分和无界增长，因此是发散的。
总结：由于级数1/n的部分和随着项数的增加趋于无穷大，导致其表现出发散的特性。这是由于其部分和的增长速度超过了项数的增长速度，使得无论多少项被纳入求和，总和总是趋于无穷大。
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