为什么函数可积时变上限函数未必可导
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- 2025-05-06 10:59:54
变上限积分函数不一定具有可导性。当函数f(x)连续时，其作为积分上限的函数具有导数。然而，若f(x)仅具有可积性，我们只能确保积分上限函数的连续性，而不能断言变上限积分函数一定可导。以一个特定函数为例：f(x)在x=-1时取负值，在x=0时取零值，在x=1时取正值。该函数的变限积分结果为F(x)=|x|。可见，在零点处，变限积分函数不可导。
深入探究，一个函数在闭区间上可积意味着其变限积分存在，由此推知此变限积分必然连续。相反，如果一个函数在闭区间上连续，那么其变限积分必然连续。进一步地，如果一个函数连续，我们还可以说其变限积分可以导出。因此，可以得出结论，函数与相应的变限积分函数之间存在两层递进关系：（1）函数可积——变限积分连续；（2）函数连续——变限积分可导。
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