常微分方程—5.1 Picard 存在唯一性定理、Peano 存在性定理与解的延拓

微分方程初值问题的解的存在唯一性是关键点，因为数值近似解法依赖于解的存在。若解不存在或不唯一，解的近似无意义，问题也无明确答案。法国数学家Picard解答了这一问题。

考虑如下微分方程组，其中方程组在自变量的连续性与Lipschitz条件下满足一定条件。Picard存在唯一性定理指出，若方程满足连续性和Lipschitz条件，则初值问题在特定区间上的解存在且唯一。

通过Picard逐次逼近法，初值问题等价于积分方程。构建Picard迭代序列，通过数学归纳法证明序列在特定区间上定义、连续且满足不等式。序列一致收敛，确保解的存在与唯一性。

证明Picard迭代序列是积分方程的解，且在特定区间上解唯一。使用Lipschitz条件验证，得出解在区间上的单调性，从而证得唯一性。

Picard存在唯一性定理不仅确认了解的存在唯一性，还提供了一种近似解初值问题的方法。第n次近似解与真实解在特定区间上的误差估计存在。实际应用中，Lipschitz条件难以检验，常使用连续性作为替代。

Peano存在性定理指出，即使不满足Lipschitz条件，只要函数连续，则初值问题至少存在一个解。这与Picard定理形成对比，揭示了解的存在性与唯一性之间的差异。

对于解的延拓问题，通过连续性在特定区域定义解，然后延拓至更大的区间。延拓过程不断进行直至无法继续。饱和解定义在特定区间上且具有开区间性质。延拓定理指出，当区域有界时，积分曲线能够到达边界，解可延拓到整个区间。

通过具体例子，展示了如何应用上述理论，包括解的定义区间、饱和解的性质、解延拓至整个区间的可能性。参考资料提供进一步研究常微分方程所需工具。