圆的标准方程圆系方程
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- 2025-05-06 20:56:45
圆的标准方程与圆系方程，是解析几何中常用的知识点。当给定两圆的方程时，可以通过一定的公式推导出它们的交点圆系方程。例如，对于方程x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0的两圆，它们的交点圆系方程为x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0，其中λ不等于-1。
为了解决特定问题，如过两圆x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的交点且面积最小的圆的方程，我们可以通过选择圆系方程来简化计算过程。首先，通过联立两圆方程求出它们的公共弦所在直线方程。对于上述两圆，公共弦方程为2x+2y-11=0。
接着，构造过公共弦与圆x^2+y^2=25交点的圆系方程为x^2+y^2-25+λ(2x+2y-11)=0。若要使所求圆面积最小，即圆的半径最小，则圆的直径应为公共弦，圆心应位于公共弦所在的直线上。将圆心坐标(-λ,-λ)代入公共弦方程中，得到λ=-11/4。代回圆系方程中，得到所求圆的方程为(x-11/4)^2+(y-11/4)^2=79/8。
综上，通过利用圆的标准方程与圆系方程的性质，我们可以更简便地解决涉及圆的交点和面积最小的问题，且无需进行复杂的联立方程求解。
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