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高考数学

在探讨圆与弦的关系中，相交弦定理提供了一种便捷的计算方式。此定理表明，圆内两条弦AB与CD相交于M点，能够通过公式 [AB] * [CD] = [AM] * [BM] + [CM] * [DM] 来计算。该定理广泛应用于解决圆恒过定点问题或是求解弦长定值问题。

相交弦定理的原理基于圆周角定理。首先，利用圆周角定理可知，任意圆周角等于其对应的中心角的一半。由此可得，圆内三角形MAD与MBC相似，根据相似三角形的性质，我们得到 [AD/MC] = [AM/MB] = [DM/BC]。通过这些关系，自然可以推导出 [AB] * [CD] = [AM] * [BM] + [CM] * [DM]。

接下来，考虑一道应用相交弦定理的题目。已知曲线 [f(x)] = [x^2] + [x] + [1] 与 y 轴交于 A、B 点，点 C 的坐标为（0,1）。我们需要证明经过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值。

首先，我们容易发现，A、B 两点坐标分别为（-1, 1）与（0, 1），点 C 的坐标为（0, 1）。因此，可得圆的半径为 [r] = √[(0 + 1)^2 + (1 - 1)^2] = 1。根据圆的性质，圆心到 A、B、C 三点的距离相等，即圆心在 y 轴上。

接下来，我们计算过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长。根据圆的性质，A、B、C 三点与圆心形成等边三角形，且圆心到 C 点的垂直距离为半径。故在 y 轴上截得的弦长为圆的直径，即为 2r = 2。因此，过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值，即为 2。

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