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三角形外心性质

三角形的外心是一个重要的几何概念，对于任意三角形⊿ABC，其外接圆⊙G的半径记为R。外心的性质与三角形的类型密切相关。

性质1表明，对于锐角三角形，其外心位于三角形的内部；直角三角形的外心则位于斜边上，并且与斜边的中点重合；而钝角三角形的外心则在三角形的外部。

性质2进一步说明，角BGC等于角A的两倍，即∠BGC=2∠A，或者等价于∠BGC=2(180°-∠A)。这个性质在证明外心与角的关系时十分关键。

证明外心与三角形内角的关系时，可以利用图形辅助。延长AG与圆交于点P，由于A、C、B、P共圆，我们得知∠P=∠B。结合∠P+∠GAC=90°，就得到了性质3，即∠GAC+∠B=90°。

性质4提供了外心的另一种几何描述。点G是⊿ABC外心的充要条件是，向量PG与各边向量的关系，可以用tanB、tanC、PA、PB和PC来表示。同样，也可以用cosA/2sinBsinC、cosB/2sinCsinA和cosC/2sinAsinB来表达。

最后，性质5强调了外心的构造特性，即三角形的三条边的垂直平分线的交点，正是外接圆的圆心，且外心到三角形三个顶点的距离是相等的。

总结来说，三角形外心的性质丰富多样，不仅涉及到位置、角度和向量关系，还与三角形边长和角的性质紧密相连，是理解三角形几何的重要组成部分。