怎么用作图法求曲率的曲率半径和曲率中心
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- 2025-06-14 11:44:09
定义：已知函数 [公式] 存在二阶导数 [公式] ，曲线 [公式] 在其点 [公式] 处的曲率公式为 [公式] 。在 [公式] 处设 [公式] ，且在曲线 [公式] 的凹向作其法线。在法线上取点C，以 [公式] 为半径，点C为圆心，所作圆周称为曲线 [公式] 在 [公式] 处的曲率圆，半径称为曲率半径，则半径公式为 [公式] 。
常见曲线的曲率圆：
二次函数：已知抛物线函数 [公式] ，其一次导函数为 [公式] 。在点 [公式] 处的切线方程为 [公式] 。二次导函数为 [公式] 。抛物线及其切线函数图像如下。根据曲率半径公式，计算 [公式] 。又知抛物线在点 [公式] 处 [公式] 的切线函数 [公式] ，直线方向可以表示为 [公式] 。取 [公式] 点，使 [公式] 。计算得 [公式] 。则在点 [公式] 处切线的垂线方向 [公式] ，展开有 [公式] 。又根据曲率的定义，可知圆心位于抛物曲线的凹向，有参数 [公式] 。圆心 [公式] 计算如下。根据圆心与半径确定曲率圆如下图。改变抛物线开口方向，令 [公式] ，图像如下。
三次函数：三次函数 [公式] 。推导过程类似二次函数，不再赘述。其图像及切线函数如下。不同区间曲率圆图像如下。
讨论：在绘制曲线的曲率圆过程中，需要注意几点：1、理解曲线的导数与切线的关系。同时该切线也是曲率圆在曲线点上的切线；2、求取切线的前进方向。以该方向为基准，才能判断圆心在切线的左右侧；3、根据定义，曲率圆是在曲线凹向处。此时，需要计算曲线的二阶导数的符号，确定切线的旋转角度，并根据切线的前进方向，旋转得到垂线的方向；4、曲线圆的绘制原理是相通的，所以过程是相似的，应该学会举一反三。
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