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如何用积分中值定理证明

考虑a<x<(a+b)/2，则2x<a+b，所以a<x<a+b-x<b，再由f严格单调递增知f(x)<f(a+b-x)。所以

∫[a,(a+b)/2] ((a+b)/2-x)f(x) dx<∫[a,(a+b)/2] ((a+b)/2-x)f(a+b-x) dx，

对右边积分做换元y=a+b-x，得右边

=∫[b,(a+b)/2] (y-(a+b)/2)f(y) -dy

=∫[(a+b)/2,b] (y-(a+b)/2)f(y) dy

=-∫[(a+b)/2,b] ((a+b)/2-y)f(y) dy

=-∫[(a+b)/2,b] ((a+b)/2-x)f(x) dx（积分变量可随意更换），

所以

∫[a,(a+b)/2] ((a+b)/2-x)f(x) dx<-∫[(a+b)/2,b] ((a+b)/2-x)f(x) dx，

∫[a,(a+b)/2] ((a+b)/2-x)f(x) dx+∫[(a+b)/2,b] ((a+b)/2-x)f(x) dx<0，

∫[a,b] ((a+b)/2-x)f(x) dx<0，

∫[a,b] ((a+b)/2)f(x) dx<∫[a,b] xf(x) dx，

((a+b)/2)∫[a,b] f(x) dx<∫[a,b] xf(x) dx。

证毕