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矩阵合同的公式

合同矩阵：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得CATC=B

则称方阵A与B合同，记作 A≃B。

扩展资料

合同矩阵

合同矩阵，在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵 C，使得CTAC=B，则称方阵A合同于矩阵B。

中文名

合同矩阵

反身性

任意矩阵都与其自身合同；

对称性

A合同于B，则可以推出B合同于A

传递性

A合同于B，B合同于C

主条目

正定二次型定义

合同矩阵：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得

则称方阵A与B合同，记作 A≃B。

例题

一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。

性质

合同关系是一个等价关系，也就是说满足：

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；

3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；

4、合同矩阵的秩相同。

矩阵合同的主要判别法：

设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同.

设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

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