13.3 无界函数的反常积分

函数在有限区间上，但在区间上无界。点称为奇点。积分极限称为反常积分。若极限存在且有限，函数在区间上为可积的；若极限为无穷或不存在，则积分发散。例如，函数在区间内无界，这一点为奇点。存在反常积分。函数在任一区间上都有界且可积，但在奇点右边每一个区间为无界。函数从到的反常积分存在。区间内各取点，则积分极限存在。反常积分存在且有限。对于反常积分，有等式。例2) 函数在这一点成为无穷。显然在任一区间函数都无界，即这一点为奇点。因为，所以存在反常积分。假设函数在任一区间上都有界且可积，但在奇点的右边每一个区间为无界。函数从到的积分存在。区间内有若干个奇点，在这些点附近函数为无界，但在不包含这些奇点的每一个闭区间上，函数都为有界且可积。为了简单起见，假定只有三个这样的点，而且其中有两个就是区间的端点，第三点介于二者之间。函数从到的积分由等式给出。给定，只要这极限是存在且有限的。在区间各取点，则有。很容易看出，极限的存在等于后面四个新积分的极限同时存在。所以定义可以写成。假设右边的反常积分都存在(除去这些积分中有两个等于有不同符号的无穷大的情形)。这定义与点的选择无关。对于反常积分，有等式。例2) 函数，奇点为。例3) 函数，奇点为。定义在有限区间上的函数在这个区间上就通常意义而言为不可积的，则在区间必有一点，在它的每一个邻域内函数都在通常意义下为不可积的。证明：反证法，假设不存在这样的点，也就是说，每个点都有一个小邻域可将该点围住，且在这个小邻域中函数可积。那么根据博雷尔有限覆盖原理，对于闭区间存在有限开覆盖，可以把有限闭区间分割为有限部分，每个有限部分内函数都可积。因而函数在整个区间都可积，这与题设条件矛盾，假设不成立，因此一定存在这样的点。这里所说的点就是奇点：在它这里"凝结"着函数的不可积性！奇点可以有若干个甚至无穷个，例如Dirichlet函数的情形，奇点就覆盖地充满了整个区间。我们现在只讨论有限个奇点的情形。在这种情形中，出现于这些点的"奇"性是很容易发觉的：在这些点的每一个邻域中函数根本是无界的(所以无界性就成为通常意义下不可积的原因)。要证明这件事，只需要看仅有一个奇点而且就是右端点的情形就够了。所以假定对任意函数都在区间上为可积(因而有界)，但在区间上为不可积的。要证明的是，在这些条件下函数不可能在点附近有界。我们用反证法，假设在上都有界。取，因函数在区间上可积，对于来说，存在，使得区间分成长度为的若干段时就有。假设，现在将整个区间分成长度的若干部分，在之内的那些部分记做，其余部分记做，而后面这些部分中至多有一个超出界限(当不是分点的时候)。于是，像刚才一样，有，而另一方面又有，因此就有。而这正是函数在整个区间上可积的条件，因而不是奇点，矛盾。结论得证。注：在奇点个数为有限的情形，奇点的特征就是在于函数在它们附近无界。这也正是前面我们给出的奇点定义所采用的。

积分学基本公式的用法与例题：假设函数定义在区间上且对于每一个区间上可积，但以一奇点。若函数在区间内也就是对于，具有原函数，则。因而反常积分的存在就等于有限极限的存在的。若这个极限真的存在而为有限，我们自然就把他当做原函数在的值，以使在整个区间上连续。于是积分的计算公式就呈现通常形状。若奇点发生在区间之内，或在积分区间上同时有若干个奇点出现，这个公式也同样成立；但是(必须牢牢地记住)要有一定的条件，就是要把原函数在奇点以外各处都以为其导数，而且处处连续，即使在奇点的地方也不要例外。这样原函数的存在自然就保证了反常积分存在。关于原函数，我们可以把它的意义了解得更广泛一些：函数应该处处以为其导数，在奇点处可以例外，在某些有限点出也可以例外，但只要在这些点以及奇点处函数保持连续即可。把基本公式中的换成，换成，我们就可以得到和前面一样的公式形式：。这样就把任意给定的导数还原为原函数，只要这导数可积就可以了，即使是对于反常积分意义下也成立。例题：1)。奇点为，被积函数的原函数为在该点也连续，因此积分存在。注意：我们这里利用了原函数在奇点处连续的性质，直接利用原函数求解得到反常积分的值。我们并没有将奇点用于分割积分区间。2)。首先奇点为，被积函数的原函数为，而原函数在奇点处值为，因此该反常积分不存在。3)。奇点为，被积函数的原函数为，在时连续，因此积分存在，等于。

积分存在的条件和判别法：同样地我们这里只讨论定义的情形，其他情形类似。而且与前面无穷区间的反常积分完全相仿，因此这里仅做简单叙述。正函数反常积分收敛性：在为正函数的情形下，要使反常积分收敛，必须且只需当任何时成立不等式。Cauchy判别法：设对于充分靠近的值，函数。那么，