读书笔记：常微分方程（二）——Lotka–Volterra模型

此篇读书笔记对应于《 Ordinary Differential Equations 》（Arnold，3rd）第一章（Basic Concepts）第二节（Vector Fields on the Line）和第三节（Linear Equations）。

上一节 中提到Lotka–Volterra模型：

然而，上一节并未详细研究这个二元系统（捕食者+猎物）动态会如何变化。很多问题仍没有解决，诸如：

► 捕食者、猎物种群动态的相位曲线如何？

► 捕食者、猎物种群动态是达到稳定平衡，还是有限环，还是混沌？或者说，相位曲线会呈螺旋形，造成系统崩溃或收敛到一个稳定点？

► 受到外界扰动时，捕食者、猎物种群动态还能保持稳定吗？

要想解决问题，首先需要建立一套体系化的二元动力学方程研究方法。

对于两个一元动力学系统：

若将 看作一个系统的两个状态参数，这就组成了一个二元系统。这个二元系统被称为这两个一元系统的 「直积（direct product）」 。该二元系统的解为 ，其中 分别是方程(1)、(2)的解。将两式相除，即可得到 「分离变量的等式（equation with separable variables）」 ：

该方程的解等于二元系统的相位曲线。这样，即使等式(1)的右侧混有变量 ，等式(2)的右侧混有变量 ，我们依然能将其化为等式(3)，进而求出二元系统的相位曲线。

这样，Lotka–Volterra模型即可表示为：

求解可得 ，其中 ， 。这是一个 封闭曲线 （图1）。

对于Lotka–Volterra模型，从其相位曲线可以看出，系统沿着闭环运动，十分稳定。为严格证明这一点，就需要变换坐标系。

如图2所示，原先的 坐标系变换为 坐标系（或 坐标系，为表述方便，后文中 ）。则闭环扩大等价于 ，闭环缩小等价于 ，闭环不变等价于 。

有时候，我们会发现 一直都成立。例如下面这个案例：

如果某个相点在 曲线上运动，那么这个相点永远都不会脱离这个有限环，因为无论时间怎么变， 恒成立。但如果受到微小扰动，会怎么样呢？令

这是它在坐标系下的相位曲线。记等式右边为函数 ，将等式右边进行麦克劳林一阶展开（模拟扰动），得到：

求解之，得到 （ 常数）。由于 的相速矢量是周期变化的，其周期为2π，那么

其中 即为上一节中提到的返回函数。返回函数 。也就是说，即使出现微小扰动， 也会不断减小，最终到0，即回到有限环。因此有限环对外界干扰表现稳定。

从这个案例可以发现，复杂的运动方程可以用一阶方程近似的方式来模拟扰动。 「线性微分方程（linear differential equation，LDE）」 就是一种用来描述相速矢量受扰动对系统动态影响的工具。其中， 「齐次线性微分方程（homogenous linear differential equation）」 描述的是对起始条件的微小扰动带来的影响，其形式如下：

其解为 ，其中 为常数。对于任意一个周期为 的有限环运动轨迹，可以采用坐标变换的手段将相位曲线化为（图2）：

这里 时 ，表明该处为平衡点，这也保证了将 线性化时保证了麦克劳林展开式的第一项 等于0， 时，可将 理解为圆周运动的半径； 是关于 的周期函数，因而 可理解为圆周运动的角度。

将 线性化即可得到，

其中 满足 ，求解后可知， ，进而，

或者表达为， 。 当 时，有限环上的相点受微扰时会以螺旋的方式离开有限环； 是，有限环上的相点即使受微扰，仍然会以螺旋的方式回到有限环 。 时无法得出任何结论。

有时候，系统不仅受到 起始条件的微小扰动 ，还受到 外部扰动 ，导致相速矢量场改变。 「非齐次线性微分方程（inhomogenous linear differential equation）」 在齐次微分方程的基础上，又在方程右侧添加了任意一个扰动项。其一般形式为：

其解为： 。证明过程见Box4。

对于等式右侧周期为 的非齐次线性微分方程，其解满足 。其中 与周期性齐次线性微分方程中的 相同。证明过程见Box5。

由Lamerey楼梯图（以 为横坐标， 为纵坐标作图，并画出 直线，反复迭代，详见 上一节 ）可知，当 时，有限环上的相点受微扰时会以螺旋的方式离开有限环，系统崩溃；当 时，系统不会崩溃，但 值最终也不会等于0，而是收敛到直线 与直线 的交点 。因而系统最终并不会回到原来的有限环，而是建立一个新的有限环。而在建立新的有限环之前， 值会不断周期性振荡。这种振荡称为 「受迫振荡（forced oscillation）」 。特别地，当 时，非齐次线性微分方程简化为齐次线性微分方程的行为，即相点回到原来的有限环。

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